Кинетические уравнения и параллельные вычисления

Семинар «Микро – макро модели и супервычисления»

Научные руководители :

д.ф.м.н, профессор кафедры вычислительных методов

Богомолов Сергей Владимирович,

к.ф.м.н, доцент кафедры вычислительных методов

Есикова Наталия Владимировна

Академик РАН, профессор кафедры вычислительных методов

Четверушкин Борис Николаевич

                                                           

 

   

 Большие сложные системы состоят из малых частей. Это относится к физическим, химическим, биологическим, экономическим, финансовым, социальным объектам. О таком устройстве природы размышляли древние, сегодня нужды высоких технологий и развитие вычислительной техники делают эту проблематику совершенно необходимой. Ключевым вопросом высокопроизводительных вычислений является точность алгоритмов, основанная на качестве вычислительных методов и соответствия математических моделей объектам исследований. Для понимания макроскопической системы нужно спускаться на её микроскопический уровень, точнее, наоборот - на основе «микро» строится «макро» благодаря созданию цепи иерархических, взаимодополняющих моделей. Задача эта непростая, решается она с помощью как чисто математических подходов, так и средствами математического моделирования. Последнее является решающим фактором в достижении реальных результатов.

Исторически, наиболее продвинутой в этом отношении областью науки является газовая динамика. Накопленный здесь опыт в последнее время всё больше используется в других предметных сферах. Газодинамические задачи важны и сами по себе: сегодня они занимают львиную долю компьютерного времени. С другой стороны, имея в своей основе довольно простую картину микроскопического взаимодействия, они показывают, как формируется сложное поведение всей макроскопической системы.

Наиболее естественным, на наш взгляд, вычислительным методом для получения результатов в этом направлении является метод частиц. Он обладает рядом неоспоримых преимуществ, позволяя с единых вычислительных позиций подходить к решению микро – мезо – макро задач. Метод естественным образом моделирует процессы переноса, сохраняя разрывы типа ударных волн; благодаря отсутствию сетки он легко справляется со сложными геометриями областей,; он дает возможность комбинировать случайные (стохастические) и неслучайные (детерминированные) модели и получать явные локальные алгоритмы, легко реализуемые на архитектурах высокопроизводительных вычислительных комплексов.

Подход к решению этих интригующих проблем начинается с вычислительных экспериментов с простейшими уравнениями переноса. С первых недель студенты спецсеминара самостоятельно делают софт, позволяющий увидеть фундаментальные трудности, и преодолевать их, получая собственные достижения в «микро – макро» творчестве. Органичным образом появляется метод частиц, его стохастические и неслучайные ветви, их взаимное движение. Вскоре студенты выбирают свою интересную задачу, в которую углубляются и теоретически, и практически, развивая свои программные комплексы, обмениваясь идеями с коллегами. Набор компетенций растёт во взаимосвязи со знаниями, получаемыми на других занятиях, включая спецкурсы по выбору. У студентов просыпается любознательность, радость продвижения вперёд, удовольствие от умственного труда, что приводит к более гармоничному ощущению всей учёбы и, значит, к успешным инвестициям в личный интеллектуальный капитал.

Ключевые слова: уравнения Больцмана, Фоккера – Планка – Колмогорова, Навье – Стокса, стохастические дифференциальные уравнения, методы частиц, кинетически – согласованные разностные схемы, параллельные вычисления.