Численные методы в математическом моделировании

Специальный курс для студентов 3 и 4 курсов (бакалавриат)

Лекции – 64 часа

Форма контроля – экзамен

Кафедра вычислительных методов

Автор программы: доктор физ.-мат. наук Савенкова Н.П.

Лектор: доктор физ.-мат. наук Савенкова Н.П.

Аннотация
 

Специальный курс лекций написан для студентов 3,4 курсов факультета ВМК МГУ им. М.В.Ломоносова на кафедре Вычислительных методов. Практически все студенты этой кафедры занимаются математическим моделированием, а также разработкой и исследованием численных методов решения математических моделей. Получив на первых двух курсах достаточно большой объём знаний из различных областей математики, поступившие на кафедру студенты третьего курса подчас ”за ненадобностью” успевают вскоре забыть многое из освоенного ими материала. Забывается, как правило, то, что не востребовано. Курс лекций опирается на полученное студентами знания на первых-вторых годах обучения на факультете ВМК и демонстрирует, где и как их следует применять при математическом моделировании. Основная цель курса - показать, что имеющиеся у студента знания должны быть активно использованы и, конечно, пополнены и развиты далее в ходе выполнения предлагаемой каждому из них научно-исследовательской работы на кафедре. Кроме того, лекции способствуют переориентации ещё ученического мышления студента к творческому подходу в процессе математического моделирования при выполнении ими курсовых, практических и дипломных работ. Опираясь на освоенный студентами материал на первых годах обучения не просто как на набор математических фактов, но с точки зрения необходимой востребованности при математическом моделировании, лекции демонстрируют студентам современную точку зрения на математическое моделирование как на основной инструмент исследования сложных нелинейных нестационарных процессов различных областей естествознания, что неоднократно подчёркивал в своих работах академик А.А.Самарский. В лекциях приводится определение современного понятия математического моделирования, введённое академиком А.А.Самарским, перечисляются различные актуальные проблемы математического моделирования, делается упор на необходимость научного подхода к математическому моделированию как в формализованных, так и в слабо формализованных процессов, демонстрируются принципы выбора математического аппарата при математическом моделировании тех или иных процессов, прививаются навыки осознанного выбора численного метода для решения конкретных постановок отдельных математических моделей и методов анализа полученных результатов численного решения задач. В лекциях используются достаточно простые, но наглядные примеры, поясняющие теоретический материал.

Программа
 

1.Математическое моделирование как инструмент исследования динамических систем. Введение. Методы научного прогнозирования. Виды причинно следственных связей в динамических процессах. Понятие математического моделирования. Определение математического моделирования академика А.А.Самарского. Универсальность математического моделирования. Понятие адекватности математической модели. 2.Математическое моделирование случайных процессов в предположении равновозможности различных исходов. Простейшие вероятностные методы прогнозирования. Примеры построения пространства элементарных событий. Примеры вероятностных математических моделей. Понятие верификации модели. Круг вопросов, подлежащих изучению при помощи вероятностных математических моделей. 3.Моделирование процессов на основе аппарата математической статистики. Основные задачи математической статистики. Аппарат математической статистики в задачах математического моделирования. Примеры постановки задач математического моделирования на основе аппарата математической статистики. Управление динамическим процессом. Использование аппарата регрессивного анализа для оптимального выбора параметров управления динамическим процессом. 4.ОДУ и их приложение к анализу динамических систем. Математические модели, основанные жестко детерминированными причинно-следственными связями. Этапы решения задачи изучения динамического процесса. Примеры математических моделей на основе ОДУ. Классификация аналитических методов решения ОДУ. Примеры решения задач. Численные методы решения. Прямые и итерационные методы решения. Погрешности прямых методов решения. Зависимость абсолютной ошибки округления от числа обусловленности матрицы. Примеры. Задача Коши. Корректность постановки задачи Коши. Существование и единственность решения задачи Коши. Примеры некорректно поставленных задач. Достаточное условие существования и единственности решения задачи Коши. Исследование корректности задачи Коши. Принципы построения численного метода решения задачи Коши. Понятия погрешности метода , порядка метода, скорости сходимости. Экспериментальный метод погрешности вычисления метода решения задачи Коши. Явные и неявные методы решения. Классификация численных методов решения ОДУ. Сравнительная характеристика методов. Примеры математических моделей на основе ОДУ. Круг вопросов, на которые можно ответить при помощи математического моделирования на основе ОДУ. 5. Анализ устойчивости динамического процесса. Устойчивость по Ляпунову. Определения устойчивого и асимптотически устойчивого решений задачи Коши по Ляпунову. Примеры исследования устойчивости системы ОДУ. Исследование устойчивости решения логистических моделей роста с фиксированной обратной связью. Исследование устойчивости решения модели роста популяции рыбы в водоёме и модели роста преступности региона. Математическое моделирование эффективности рекламы. Исследование асимптотического поведения решения. 6. Методы Ляпунова исследования устойчивости динамического процесса. Первый метод Ляпунова исследования устойчивости. Теорема Ляпунова о характеристических показателях решений линейной системы. Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости линейной системы. Второй метод Ляпунова исследования устойчивости. Достаточные условия устойчивости состояния покоя нелинейной автономной системы. Исследование асимптотической устойчивости тривиального решения однородного линейного ОДУ n-ого порядка. Применение теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости автономного решения для конкретных задач, проведение сравнения полученных результатов с результатами исследования устойчивости по определению понятия устойчивости с использованием аналитического вида точного решения. 7. Качественное исследование устойчивости динамического процесса. Метод фазовой плоскости. Классификация точек покоя линейной автономной динамической системы. Построение фазовых портретов. Примеры исследования устойчивости АДС. Топологически эквивалентные динамические системы. Примеры топологически эквивалентных эволюционных систем. Зависимость топологической эквивалентности от величины управляющего параметра системы. Понятие критического значения управляющего параметра. 8. Численные методы исследования спектра дифференциальной задачи. Понятие алгебраической проблемы собственных значений. Стандартная и обобщенная задачи на собственные значения. Полная и частичная проблемы собственных значений. Пакеты стандартных программ решения задач на собственные значения. Методы решения полной проблемы на собственные значения. Метод Якоби. Преобразование Хаусхолдера, матрицы Якоби и метод бисекции. QR и QL алгоритмы. Методы решения частичной проблемы собственных значений. Степенной метод. Метод RBS. Сведение исследования устойчивости эволюционной системы к исследованию спектра задачи на собственные значения дифференциальной задачи. Получение соответствующей алгебраической задачи на собственные значения при помощи разностного метода решения дифференциальной задачи на собственные значения. 9. Диссипативные и консервативные динамические системы. Примеры эволюционных моделей, являющихся диссипативными и консервативными динамическими системами. Численный метод решения консервативных систем. 10. Нелинейные отображения. Понятие теории бифуркации. Исследование дискретных логистических моделей роста. Обобщенная схема простой итерации. Непрерывный аналог логистической модели роста популяции животных на изолированном острове. Бифуркация решения логистической модели роста. Каскады удвоения периодов цикла. Рождение хаоса. 11. Пространственно однородные и пространственно неоднородные математические модели. Математическая модель брюсселятора. Исследование устойчивости решения пространственно однородной модели брюсселятора. Исследование устойчивости решения пространственно неоднородной модели брюсселятора. Получение пространственно однородной модели методом обезразмеривания пространственно неоднородной модели. Получение ОДУ из уравнения в частных производных с операторами переноса и диффузии. 12. Вариационные и классические математические постановки физических задач. Пример Адамара. Численные методы решения вариационных задач. 13. Математическое моделирование неформализуемых процессов. Классические законы термодинамики и синергетики как фундаментальные законы природы. Примеры математических моделей слабо формализуемых процессов.

Литература
 

1. Самарский А.А., Михайлов А.П. Методологические основы моделирования социальных процессов: пределы возможного. Сб. Математическое моделирование социальных процессов. Вып. 2 М.: МГУ. 2000. 2. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. М.: ФИЗМАТЛИТ. 2005. 3. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М.: Наука. 1982. 4. Дубров А.М., Мхитарян В.С., Трошин Л.И. Многомерные статистические методы. М.: Финансы и статистика. 2000. 5. Пантилеев А.В., Якимова А.С., Босов А.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения в приложении к анализу динамических систем. М.: МАИ. 1997. 6. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука. 1989. 7. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: МГУ. 1998. 8. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: УРСС. 2002. 9. Арнольд В.И. Теория катастроф. М.: Наука. 1990. 10. Чуличков А.И. Математические методы нелинейной динамики. М.: ФИЗМАТЛИТ. 2000. 11. Бабицкий В.И., Крупенин В.Л. Колебания в сильно нелинейных системах. М.: Наука. 1985. 12. Анищенко В.С. Знакомство с нелинейной динамикой. Москва-Ижевск. 2002. 13. Вержбицкий В.М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения). М.: ОНИКС 21 век. 2005. 14. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука. 1970. 15. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука. 1978. 16. Захарчук В.Т., Савенкова Н.П. О вычислении границ комплексного спектра. Вестник МГУ. 1990. серия 15. №3. с. 30-34. 17. Магницкий Н.А. Хаотическая динамика нелинейных диссипативных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: МАКС Пресс. 2006. 18. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука. 1989. 19. Плотинский Ю.М. Теоретические и эмпирические модели социальных процессов. М.: Логос. 1998. 20. Комеч Ф.И. Практическое решение уравнений математической физики. М.: МГУ. 2003. 21. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука. 1981. 22. Ильин В.Н. Термодинамика и социология. М.: КомКнига. 2005. 23. Кадомцев Б.Б. Динамика и информация. Изд. журнала Успехи физических наук. 1999. 24. Андерсон Д. и др. Вычислительная гидродинамика и теплообмен. Том 2. М.: Мир. 1990. 25. Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Нижний Новгород: Ниж.Гор. университет. 1999. 26. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Москва-Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика. 2002. 27. Дьяконов Е.Г. Энергетические пространства и их применения. М.: ВМК МГУ. 2001.