Вопросы по курсу Численные методы, 3 курс, 1 поток

Вопросы по курсу «Численные методы», 3 курс, первый поток, 2019

1. Решение линейного разностного уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами.
2. Решение линейного однородного разностного  уравнения k-ого порядка с постоянными коэффициентами. Линейная независимость частных решений при различных, кратных и комплексных сопряженных корнях характеристического уравнения.
3. Решение неоднородного разностного уравнения k-ого порядка с постоянными коэффициентами и правыми частями вида многочлен, умноженный на экспоненту.
4. Решение систем разностных уравнений с постоянными коэффициентами.
5. Решение разностной задачи на собственные значения для оператора второй разности с граничными условиями первого рода.
6. Ортогональные многочлены и их свойства.  Свойства нулей ортогональных многочленов.
7. Ортогональные многочлены Чебышева и их свойства.
8. Метод неопределенных коэффициентов построения формул численного дифференцирования. Примеры.
9. Использование интерполяционных формул для построения формул численного дифференцирования.  Корректность численного дифференцирования.
10. Общий вид методов Рунге-Кутты.
11. Одноэтапные методы Рунге-Кутты.
12. Методы Рунге-Кутты третьего порядка.Формулировки теорем о погрешности аппроксимации s – этапных методов Рунге-Кутты.
13. Теорема об оценке скорости сходимости метода Рунге-Кутты.
14. Явные и неявные методы Адамса. Примеры явных и неявных методов.
15. Формулы дифференцирования назад (методы Гира)
16. Общие линейные многошаговые методы и их погрешность аппроксимации.
17. Погрешность аппроксимации явных методов Адамса.
18. Производящий и характеристические многочлены, корневое условие, нуль-устойчивость. Примеры устойчивых линейных многошаговых методов. Первый барьер Дальквиста.
19. Абсолютная устойчивость и область абсолютной устойчивости. А-устойчивость двухшаговой формулы дифференцирования назад. Формулировка теоремы об устойчивости-неустойчивости неявных многошаговых методов. А(α) – устойчивость.
20. Разрешимость и оценка скорости сходимости трехточечной разностной схем, аппроксимирующей первую краевую задачу для стационарного уравнения теплопроводности.
21. Монотонность разностных схем на примере трехточечной разностной схемы для  стационарного уравнения теплопроводности. Принцип сравнения. Априорная оценка разностного решения.
22. Аппроксимация самосопряженного уравнения второго порядка с переменными коэффициентами методом баланса. Погрешность построенной аппроксимации.
23. Аппроксимация граничного условия третьего рода для самосопряженного уравнения второго порядка методом баланса. Погрешность построенной аппроксимации.
24. Разрывные коэффициенты.
25. Неравномерные сетки.

Литература.

1. В.Б. Андреев Численные методы. Электронная версия. Части 1 и 2.
2. А.А. Самарский, А.В. Гулин. Численные методы. М.: Наука. 1989.
3. Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. Численные методы. М.:  Наука. 1989.